सामान्य (घंटी कर्व) वितरण

डेटा सेट (100 मानव की ऊंचाई, कक्षा में 45 छात्र द्वारा प्राप्त अंक, आदि) के समान डेटा बिंदु पर कई मान हैं या एक ही सीमा के भीतर डेटा बिंदुओं का यह वितरण सामान्य या घंटी वक्र वितरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 100 व्यक्तियों के समूह में, 10 5 फीट लंबा से नीचे हो सकता है, 65 5 और 5 के बीच खड़े हो सकते हैं। 5 फुट और 25 5 से ऊपर हो सकते हैं। 5 फुट। निम्नानुसार इस सीमाबद्ध वितरण का प्लॉट किया जा सकता है:

इसी तरह, किसी भी डेटा सेट के लिए रेखांकन में डेटा बिंदु अलग-अलग प्रकार के वितरण के समान हो सकते हैं। सबसे आम में से तीन बायां गठबंधन, दायां गठबंधन और छेड़छाड़ किए गए वितरण हैं:

इन आलेखों में से प्रत्येक में लाल प्रवृत्ति को नोट करें यह आम तौर पर डेटा वितरण प्रवृत्ति को दर्शाता है सबसे पहले, "बायां संरेखित वितरण," इंगित करता है कि अधिकांश डेटा बिंदु निम्न श्रेणी में आते हैं दूसरे "अधिकार संरेखित वितरण" आलेख में, डेटा के अधिकांश आंकड़े श्रेणी के उच्च अंत में होते हैं, जबकि अंतिम, "गुदगुदी वितरण," किसी भी स्पष्ट प्रवृत्ति के बिना एक मिश्रित डेटा सेट का प्रतिनिधित्व करता है

बहुत सारे मामलों में जहां डेटा बिंदुओं का वितरण केंद्रीय मूल्य के आस-पास होता है, और यह ग्राफ एक संपूर्ण सामान्य वितरण दिखाता है, दोनों पक्षों पर डेटा पॉइंट्स की उच्चतम संख्या केंद्र में केंद्रित

यह एक आदर्श, आम तौर पर वितरित डेटा सेट है

यहां का केंद्रीय मूल्य 50 है, जिसमें डेटा संख्या का सबसे अधिक संख्या है, और वितरण 0 और 100 के चरम अंत मानों की ओर समान रूप से बंद होते हैं, जिनमें कम संख्या में डाटा पॉइंट हैं सामान्य वितरण प्रत्येक मूल्य के आधे मूल्यों के साथ केंद्रीय मूल्य के सममित है।

बहुत सारे वास्तविक जीवन उदाहरण घंटी वक्र वितरण को फिट करते हैं:

• कई बार एक उचित सिक्का टॉस करें (100 गुना या उससे ज्यादा) और आपको सिर और पूंछ का संतुलित सामान्य वितरण मिलेगा।
• निष्पक्ष पासा की एक जोड़ी कई बार रोल करें (100 गुना या उससे ज्यादा) और इसका परिणाम एक संतुलित, सामान्य वितरण होगा जो 7 वें स्थान पर केन्द्रित होगा और 2 और 12 के चरम-अंत मूल्यों की ओर समान रूप से निहितार्थ होगा।
• एक वर्ग के लोगों द्वारा प्राप्त किए गए आकार और अंकों के समूह में व्यक्तियों की ऊंचाई दोनों वितरण के सामान्य पैटर्न का पालन करते हैं।
• वित्त में, लॉग मूल्यों में परिवर्तनविदेशी मुद्रा दर, मूल्य सूचकांक, और शेयर की कीमतों को आम तौर पर वितरित किया जाता है।

वित्त और निवेश के संबंध

किसी भी निवेश के दो पहलू हैं: जोखिम और वापसी निवेशक उच्चतम संभावित रिटर्न के लिए न्यूनतम संभावित जोखिम की तलाश करते हैं सामान्य वितरण रिटर्न के लिए मतलब और जोखिम के लिए मानक विचलन द्वारा इन दो पहलुओं का प्रमाणन करता है।(अधिक के लिए, देखें: मध्य-विचरण विश्लेषण ।)

मतलब या अपेक्षित मान

एक विशेष शेयर की कीमत का मतलब बदल सकता है 1। दैनिक आधार पर 5% - जिसका अर्थ है कि औसतन, यह 1% तक बढ़ जाता है। इसका मतलब मूल्य या अपेक्षित मूल्य उस स्टॉक के ऐतिहासिक दैनिक मूल्य परिवर्तन वाले एक बड़े पर्याप्त डेटासेट पर औसतन गणना करके औसत लौटाया जा सकता है। उच्च मतलब, बेहतर

मानक विचलन

मानक विचलन उस राशि को दर्शाता है जिसके द्वारा मूल्य औसत से औसत पर विचलित होता है। जितनी अधिक मानक विचलन, निवेश जोखिम वाला, क्योंकि इससे अधिक अनिश्चितता होती है।

यहां एक चित्रमय प्रतिनिधित्व दिया गया है:

इसलिए, अपने माध्य और मानक विचलन के माध्यम से सामान्य वितरण का चित्रमय प्रतिनिधित्व, स्पष्ट रूप से परिभाषित सीमा के भीतर रिटर्न और जोखिम दोनों के प्रतिनिधित्व को सक्षम करता है।

यह पता करने में मदद करता है (और निश्चितता से आश्वासन दिया जा सकता है) कि यदि कुछ डाटासेट सामान्य वितरण पैटर्न का अनुसरण करता है, इसका मतलब हमें यह जानने में सक्षम बनाता है कि किस उम्मीद की उम्मीद है, और इसकी मानक विचलन हमें यह जानने में सक्षम बनाती है कि लगभग 68% मान 1 मानक विचलन के भीतर होंगे, 95% 2 मानक विचलन के भीतर और 99% मान 3 मानक विचलन के भीतर आ जाएंगे। एक डाटासेट जिसकी 1 का मतलब है। 1 और 1 का मानक विचलन 1 और 1 के मानक विचलन का मतलब है, दूसरे डेटासेट की तुलना में ज्यादा जोखिम भरा है। 1. प्रत्येक चयनित परिसंपत्ति (यानी स्टॉक, बांड और फंड) एक निवेशक को अपेक्षित रिटर्न और जोखिम के बारे में जानकारी देगा।

इस अवधारणा को लागू करना और जोखिम का प्रतिनिधित्व करना और एक एकल स्टॉक, बांड या फंड पर वापस करना आसान है, लेकिन क्या यह कई संपत्तियों के पोर्टफोलियो तक बढ़ाया जा सकता है?

व्यक्ति एकल स्टॉक या बांड खरीदने या म्यूचुअल फंड में निवेश करके व्यापार शुरू करते हैं। धीरे-धीरे, वे अपनी हिस्सेदारी बढ़ाने के लिए और कई स्टॉक, फंड या अन्य संपत्ति खरीदते हैं, जिससे एक पोर्टफोलियो बनाते हैं। इस वृद्धिशील परिदृश्य में, व्यक्ति अपने पोर्टफोलियो को बिना रणनीति या बहुत पूर्वविचार के निर्माण करते हैं। व्यावसायिक निधि प्रबंधकों, व्यापारियों और बाजार निर्माताओं ने आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत (एमपीटी) नामक एक गणितीय दृष्टिकोण के उपयोग से अपने पोर्टफोलियो को बनाने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति का पालन किया है जो "सामान्य वितरण" "

आधुनिक पोर्टफोलियो थ्योरी

आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत एक व्यवस्थित गणितीय दृष्टिकोण प्रदान करता है जिसका उद्देश्य विभिन्न संपत्तियों के अनुपात का चयन करके पोर्टफोलियो जोखिम की एक निश्चित राशि के लिए पोर्टफोलियो की अपेक्षित वापसी को अधिकतम करना है। वैकल्पिक रूप से, यह अपेक्षित वापसी के दिए गए स्तर के लिए जोखिम को कम करने की पेशकश भी करता है

इस उद्देश्य को हासिल करने के लिए, पोर्टफोलियो में शामिल होने वाली संपत्ति को केवल अपने स्वयं के व्यक्तिगत योग्यता के आधार पर नहीं चुना जाना चाहिए बल्कि इसके बजाय प्रत्येक संपत्ति पोर्टफोलियो में अन्य परिसंपत्तियों के संबंध में कैसे काम करेगी।

संक्षेप में, एमपीटी परिभाषित करता है कि सर्वोत्तम संभव परिणामों के लिए पोर्टफोलियो विविधीकरण कैसे प्राप्त करना है: जोखिम के स्वीकार्य स्तर या रिटर्न की वांछित स्तर के लिए न्यूनतम जोखिम के लिए अधिकतम लाभ।

बिल्डिंग ब्लॉकों

एमपीटी एक ऐसी क्रांतिकारी अवधारणा थी जब इसे पेश किया गया कि इसके अन्वेषकों ने नोबल पुरस्कार जीता निवेश में विविधीकरण के मार्गदर्शन के लिए इस सिद्धांत ने सफलतापूर्वक एक गणितीय सूत्र प्रदान किया है।

विविधीकरण जोखिम प्रबंधन तकनीक है, जो गैर-सहसंबद्ध शेयरों, क्षेत्रों या परिसंपत्ति वर्गों में निवेश करके "सभी अंडों को एक टोकरी में" निकाल देता है। आदर्श रूप से, पोर्टफोलियो में एक परिसंपत्ति का सकारात्मक प्रदर्शन अन्य संपत्तियों के नकारात्मक प्रदर्शन को रद्द कर देगा।

पोर्टफोलियो की औसत रिटर्न लेने के लिए

n विभिन्न संपत्तियां, घटक परिसंपत्तियों के रिटर्न की अनुपात-भारित संयोजन गणना की जाती है सांख्यिकीय गणना और सामान्य वितरण की प्रकृति के कारण, समग्र पोर्टफोलियो रिटर्न (आर पी ) के रूप में गणना की जाती है: _{योग (Σ) जहां w} i का आनुपातिक वजन पोर्टफोलियो में संपत्ति मैं, आर

i _{परिसंपत्ति का रिटर्न (मतलब) है I} पोर्टफोलियो जोखिम (या मानक विचलन) सभी परिसंपत्ति जोड़े (जोड़ी में एक-दूसरे के संबंध में) के लिए, शामिल परिसंपत्तियों के सहसंबंधों का एक कार्य है। सांख्यिकीय गणना और सामान्य वितरण की प्रकृति के कारण, समग्र पोर्टफोलियो जोखिम (एसटीडी-देव) _{पी को इस रूप में गणना की जाती है:} जहां cor-cof संपत्ति i और j के रिटर्न के बीच सहसंबंध गुणांक है, और sqrt वर्ग-रूट है

यह प्रत्येक संपत्ति के सापेक्ष प्रदर्शन का ध्यान दूसरे के संबंध में रखता है _{हालांकि गणितीय रूप से जटिल दिखाई देने पर, यहां लागू की गई सरल अवधारणा में केवल व्यक्तिगत संपत्तियों के मानक विचलन शामिल नहीं हैं, बल्कि संबंधित एक-दूसरे के संबंध में भी हैं} वॉशिंगटन विश्वविद्यालय से यहां एक अच्छा उदाहरण उपलब्ध है।

एक त्वरित उदाहरण

एक विचार प्रयोग के रूप में, हमें यह सोचने की उम्मीद है कि हम एक पोर्टफोलियो प्रबंधक हैं, जिन्हें पूंजी दी गई है और इसे दो उपलब्ध परिसंपत्तियों (ए और बी) से कितना पूंजी आवंटित किया जाना चाहिए, ताकि उम्मीद की जा सके वापसी अधिकतम है और जोखिम सबसे कम है।

हमारे पास निम्न मान भी उपलब्ध हैं:

आर

एक

= 0. 175

आर

बी _{= 0. 05} (एसटीडी-देव) < एक

= 0. 258 _{(एसटीडी-देव)} बी

= 0. 115 _{(एसटीडी-देव)} एबी

= -0 004875 _{(कोर-कॉफ़)} अब

= -0 164 _{प्रत्येक परिसंपत्ति ए एंड बी, आर} पी के बराबर 50-50 आवंटन के साथ शुरू करने के लिए 0. 115 और (एसटीडी-देव)

पी _{0 के लिए आता है। 1323 एक सरल तुलना हमें बताती है कि इस 2 संपत्ति पोर्टफोलियो के लिए, प्रत्येक परिसंपत्ति के अलग-अलग मूल्यों के बीच के साथ-साथ रिटर्न और जोखिम के बीच का अंतर है।} हालांकि, हमारा उद्देश्य पोर्टफोलियो की वापसी को या तो व्यक्तिगत परिसंपत्ति के औसत औसत से परे करना है और जोखिम को कम करना है ताकि यह व्यक्तिगत संपत्ति के मुकाबले कम हो।

अब संपत्ति ए और ए -0 में 1 के 5 पूंजी आवंटन की स्थिति ले लीजिए। संपत्ति बी में 5 पूंजीगत आवंटन की स्थिति (नकारात्मक पूंजी आवंटन का मतलब है कि स्टॉक और पूंजी को अन्य पूंजी आवंटन के साथ अतिरिक्त पूंजी आवंटन के अतिरिक्त अधिशेष खरीदने के लिए इस्तेमाल किया गया था।पूंजी के 5 गुना और उस राशि का इस्तेमाल करते हुए स्टॉक ए को 1. राशि के लिए खरीदने के लिए।) _{इन मूल्यों का उपयोग करते हुए, हमें आर पी 0 के रूप में मिलता है। 1604 और (एसटीडी-देव) < पी 0 के रूप में। 4005.} इसी तरह, हम परिसंपत्ति ए और बी के लिए अलग आवंटन भार का उपयोग जारी रख सकते हैं, और आरपी और (एसटीडी-देव) पी के विभिन्न सेटों पर पहुंच सकते हैं। वांछित रिटर्न (आरपी) के मुताबिक, एक सबसे अच्छा स्वीकार्य जोखिम स्तर (एसटीडी-देव) पी चुन सकता है। वैकल्पिक रूप से, वांछित जोखिम के स्तर के लिए, एक सबसे अच्छा उपलब्ध पोर्टफोलियो रिटर्न का चयन कर सकता है। किसी भी तरह, पोर्टफोलियो सिद्धांत के इस गणितीय मॉडल के माध्यम से, वांछित जोखिम और वापसी संयोजन के साथ एक कुशल पोर्टफोलियो बनाने के उद्देश्य से मिलना संभव है। _{स्वचालित टूल्स का उपयोग आसानी से मैन्युअल रूप से लंबा मैनुअल गणना की आवश्यकता के बिना, आसानी से आसानी से आसानी से और आसानी से सबसे अच्छा आवंटित अनुपात का पता लगा सकता है।} कुशल सीमा, कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल (सीएपीएम) और एमटीपी का इस्तेमाल करने वाली परिसंपत्ति मूल्य-निर्धारण भी समान सामान्य वितरण मॉडल से विकसित होते हैं और एमपीटी के विस्तार हैं।

एमपीटी (और अंतर्निहित सामान्य वितरण) के लिए चुनौतियां:

दुर्भाग्य से, कोई गणितीय मॉडल सही नहीं है और प्रत्येक में अपर्याप्तताएं और सीमाएँ हैं

मूल धारणा यह है कि स्टॉक की कीमत सामान्य वितरण का पालन करती है, स्वयं को बार-बार पूछताछ की जाती है ऐसे उदाहरणों का पर्याप्त अनुभवजन्य प्रमाण है जहां मूल्यों को सामान्य सामान्य वितरण का पालन करने में विफल रहता है। ऐसी मान्यताओं पर जटिल मॉडल रखने से बड़े विचलन के साथ परिणाम हो सकते हैं। _{आगे एमपीटी में जा रहा है, गणना और अनुमान सहसंबंध के बारे में धारणाएं और शेष स्थिर (ऐतिहासिक डेटा के आधार पर) संवाहक भविष्य में अपेक्षित मूल्यों के लिए सत्य नहीं रख सकते हैं। उदाहरण के लिए, बॉन्ड और शेयर बाजारों ने 2001 से 2004 की अवधि के दौरान ब्रिटेन के बाजार में सही सहसंबंध दिखाया, जहां दोनों संपत्ति से रिटर्न एक साथ नीचे चला गया। वास्तविकता में, रिवर्स 2001 से पहले लंबी ऐतिहासिक अवधि में देखा गया है।} इस गणितीय मॉडल में निवेशक के व्यवहार को ध्यान में नहीं रखा जाता है करों और लेनदेन लागत की उपेक्षा की जाती है, भले ही आंशिक पूंजी आवंटन और शॉर्टिंग परिसंपत्तियों की संभावना ग्रहण की जाती है। _{वास्तव में, इन धारणाओं में से कोई भी सच नहीं रख सकता है, जिसका अर्थ है कि वित्तीय लाभ का अनुमान अपेक्षित मुनाफे से काफी भिन्न हो सकता है।} निचला रेखा:

गणितीय मॉडल एकल, ट्रैक करने योग्य संख्याओं के साथ कुछ चर को मापने के लिए एक अच्छा तंत्र प्रदान करते हैं लेकिन मान्यताओं की सीमाओं के कारण मॉडल विफल हो सकते हैं। सामान्य वितरण, जो पोर्टफोलियो सिद्धांत का आधार बनता है, जरूरी नहीं कि स्टॉक और अन्य वित्तीय संपत्ति मूल्य पैटर्न पर लागू हो। महत्वपूर्ण वित्तीय निर्णय लेने से पहले अपने आप में पोर्टफोलियो थ्योरी की बहुत सारी धारणाएं हैं, जिन्हें गंभीर रूप से जांच की जानी चाहिए।